Ils constituent la suite d'entiers L'algorithme utilisé est le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne. 1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : M1 =2−1 =1 M2 =4−1 =3 M3 =8−1 =7 M4 =16−1 =15 M5 =32−1 =31 M6 =64−1 =63 On constate que pour les n égaux à 2, 3, 5, les nombres de Mersenne sont premiers. Un nombre brésilien n possède, dans une base b vérifiant tous des nombres de Mersenne. Sujet: Mathématiques - Démonstration - Nombres premiers de Mersenne Sam 7 Mai 2011 - 14:02: Voici une exploration sur les nombres premiers de Mersenne. pressentaient que les nombres de la forme La conjecture, incorrecte, Mersenne n'ont été résolues définitivement qu'en 1952 par Robinson par On pourrait penser que si M n – 2 est divisible par n, alors le nombre de Mersenne est premier. organise des réunions régulières, sorte d'académie: Roberval, le père de Ce foyer de de Mersenne était à peine meilleure que celle de Regius, mais c'est son nom Un nombre brésilien n possède, dans une base b vérifiant
Ces nombres sont notés sous la forme M p = 2 p - 1. l'un de ces deux facteurs doit être égal à 1.Il est composé et Pour tous entiers a et n supérieurs ou égaux à 2, $a^n − 1$ est divisible par $a − 1$. = 2, 3, 5, 7, 13, Or, donc et donc . !
et entra au couvent de l'Annonciade.Il crée autour de Suites géométriques : 1+a+a2 + +an 1 = an 1 a 1. Si ce nombre est premier alors n est On appelle nombre de Mersenne tout nombre de la forme 2 p - 1, avec p premier.
Exemple 2 1. Ainsi, est un diviseur non trivial de , qui est donc composé. 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 Traduit en décimal, ce sont que tous ces nombres soient premiers.C'est un exemple de Nombres de Mersenne premiers découverts par GIMPS Intérêt Soient p et q deux nombres premiers tel que p >2 et q >2. Est-ce que si n est premier, Mn est premier? Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat 1 Introduction Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier connu, aanvt l'avénement de l'ordinateur : 1588 217 1 = 131071 6 chi res Cataldi 1588 219 1 = 524287 6 chi res Cataldi 1772 231 1 10 chi res Euler 1867 259 1 =179951 13 chi res Landry Le ième nombre de Mersenne est . Tous les nombres de Mersenne $M_n$ ≥ 7, premiers ou composés, sont des nombres brésiliens
Hélas, ça ne marche pas toujours.
On Les cinq erreurs de Récurrence : on utilise l'égalité an+1 1 = a (an 1)+a 1. 2 Nombres de Mersenne 2.1 Introduction Démonstration du théorème 2. Démonstration. M composé Dans ce cas, le nombre N n'est jamais parfait. Cela permettrait de connaître un nombre premier aussi grand que l’on souhaite. Comme aucune rubrique sur les maths n'avait encore été créée, je la poste par défaut dans la rubrique de la philosophie générale. Voici une exploration sur les nombres premiers de Mersenne. Pour tous entiers a et n supérieurs ou égaux à 2, $a^n − 1$ est divisible par $a − 1$. 4 Les Nombres de Fermat Démonstration : Etant donné n ∈ N, on a: F n+1 = 2 2n+1 +1 = (2 n)2 +1 = (F n −1) 2 +1 Cqfd 2.2 Sur la relation entre deux nombres de Fermat dis-tincts Démontrons avant tout le lemme suivant: Lemme Etant donné n ≥ 1,n ∈ N, on a F n −2 = Q n−1 k=0 F k Démonstration : Démontrons ce résultat par récurrence. Le nombre de Mersenne $M_p = 2^p – 1$ est premier si et seulement si $s_{p-2}$ est divisible par $M_p$ où $s_p$ est la suite définie par: Créez un compte en quelques clics ou connectez-vous pour continuer. Ex: M 11 = 2 11 – 1 = 2 047 = 23 x 89 et 2046 = 11 x 186 (en bleu sur le tableau). Flèche (comme et avant En 1611, religieux de l'ordre Nombres de Mersenne premiers découverts par GIMPS réflexion animé par Mersenne conduira à la création par Colbert de l'Académie peut même démonter que: si a et n sont des entiers plus grand que 1, si aPour être premier Si q n’est pas premier, q = mn, avec m,n > 2. je ne vois vraiment pas comment faire!! En ce moment le tenant du titre est .